¿Cómo se prueban las líneas de Euler?

Todos los diagramas de Venn son diagramas de Euler , pero no todos los diagramas de Euler son diagramas de Venn . Los diagramas de Euler sólo tienen las combinaciones de intersecciones que realmente existen en el mundo real. Los diagramas de Venn representan todas las relaciones lógicas hipotéticamente posibles entre categorías.

La fórmula de Euler , cualquiera de los dos importantes teoremas matemáticos de Leonhard Euler . … Se escribe F + V = E + 2, donde F es el número de caras, V el número de vértices y E el número de aristas. Un cubo, por ejemplo, tiene 6 caras, 8 vértices y 12 aristas y satisface esta fórmula .

El propósito de los diagramas de Euler es crear una representación visual de cada uno de los aspectos de un argumento lógico para que la conclusión pueda evaluarse claramente. Generalmente, se construye un óvalo para representar cada conjunto descrito en el argumento y se usa una "X" para representar unidades solitarias.

El triángulo de Euler de un triángulo es el triángulo cuyos vértices son los puntos medios de los segmentos que unen el ortocentro. con los respectivos vértices. Los vértices del triángulo se conocen como puntos de Euler y se encuentran en el círculo de nueve puntos.

Prueba de la existencia de la línea de Euler. Produzca CG a H de modo que CG = la mitad de GH. Queda por demostrar que H es el ortocentro. y por tanto AH es paralela a QC, pero CQ es perpendicular a BD y por tanto AP es una altura del triángulo. De manera similar, DH extendido es perpendicular a AB y H es el ortocentro.

Euler siguió siendo cristiano toda su vida y, a menudo, leía la Biblia a su familia. Una historia sobre su religión durante su estancia en Rusia involucraba al filósofo ateo Diderot. … Euler siempre tuvo interés tanto en la teología como en las matemáticas. Para él, las matemáticas le permitieron comprender la buena creación de Dios .

En cualquier triángulo, el centroide, el circuncentro y el ortocentro siempre se encuentran sobre una línea recta, llamada línea de Euler . Prueba esto Arrastra cualquier punto naranja en un vértice del triángulo. Los tres puntos que representan los tres centros siempre estarán sobre la línea verde de Euler .

Primero repasemos rápidamente qué puntos se encuentran en la línea de Euler de cualquier triángulo arbitrario. Hay tres puntos de concurrencia que se encuentran en la línea de Euler : el ortocentro, el centroide y el circuncentro. El ortocentro es el punto de concurrencia de las tres altitudes caídas desde cada vértice.

Un triángulo está compuesto por tres segmentos de recta . Los segmentos de recta se cruzan en sus puntos finales. Para nombrar un triángulo solemos utilizar sus vértices (el nombre de los extremos). El siguiente triángulo se llama ABC.

La línea de Euler (roja) es una línea recta que pasa por el centroide (naranja), el ortocentro (azul), el circuncentro (verde) y el centro del círculo de nueve puntos (rojo).

La altura de un triángulo es una recta que pasa por un vértice del triángulo y es perpendicular al lado opuesto. Por tanto, hay tres altitudes posibles, una desde cada vértice. Resulta que las tres altitudes siempre se cruzan en el mismo punto: el llamado ortocentro del triángulo .

Definición: En Geometría, la mediana de un triángulo es un segmento de recta que une un vértice con el punto medio del lado opuesto. Estas medianas se cruzan en un solo punto, llamado centroide.

Una línea que conecta un vértice del triángulo con el punto medio del lado opuesto se llama mediana del triángulo . Las medianas de este triángulo son AA', BB', CC' y están de color verde. Observa que todos se encuentran en un punto G del triángulo , también de color verde. Este punto se llama centroide del triángulo .

En geometría, el incentro de un triángulo es el centro del triángulo , un punto definido para cualquier triángulo de una manera que es independiente de la ubicación o escala del triángulo . … En este caso el incentro es el centro de este círculo y está a la misma distancia de todos los lados.

El circuncentro de un triángulo agudo siempre está dentro del triángulo . El circuncentro de un triángulo obtuso siempre está fuera del triángulo y opuesto al ángulo obtuso. En un triángulo rectángulo, el circuncentro se encuentra en el punto medio de la hipotenusa.

El circuncentro de un triángulo agudo está dentro , sobre o fuera del triángulo . El circuncentro de un triángulo rectángulo se encuentra exactamente en el punto medio de la hipotenusa (lado más largo). El circuncentro de un triángulo obtuso siempre está fuera del triángulo .

El ortocentro es el punto de intersección de todas las altitudes del triángulo. Las altitudes no son más que la línea perpendicular (AD, BE y CF) desde un lado del triángulo (ya sea AB o BC o CA) hasta el vértice opuesto. … El vértice es un punto donde se encuentran dos segmentos de recta (A, B y C).

El circuncentro de un triángulo se puede encontrar como la intersección de las bisectrices perpendiculares (es decir, las líneas que forman ángulos rectos con el punto medio de cada lado) de todos los lados del triángulo . Esto significa que las bisectrices perpendiculares del triángulo son concurrentes (es decir, se encuentran en un punto).